一維線性諧振子波函數及概率分布的可視演示

簡諧振動，在自然界中廣泛存在，所有在平衡位置附近做微小振動一般都可以視為簡諧振動。晶體中，原子在某個平衡位置的振動，其形式和簡諧振動類似，但原子的振動本質上是量子諧振子。深入研究量子諧振子，有助于晶體性質深入學習。一維線性諧振子的可視化，已有部分文獻進行討論，本文以Mathematica軟件為例，利用控件，探討一維線性諧振子的波函數及幾率密度的變化，使學生能更直觀的認識波函數及幾率密度的物理意義。

1  一維線性諧振子的波函數和幾率密度

考慮一維線性諧振子的勢能為 ，則薛定諤方程為

該方程的解為

其中，。為厄米多項式。一維線性諧振子的能量為。其幾率密度為 。

2  波函數及幾率密度的作圖

Mathematica中，利用內部命令Manipulate 可以實現對控件的操作，其基本形式為：

Manipulate[expr,{u,umin,umax,du}]

其基本含義為，產生一個帶有控件的expr表達式版本，該控件允許對u的值進行交互式操作，其中umin，umax分別是u的最小值和最大值，du表示從最小值到最大值以du步長變化。

根據一維線性諧振子的波函數，umin=0，du=1，設置umax=20，其代碼為：

為了方便，我們直接令質量。可以展示不同能級的波函數，這里設置的是n=0到n=100的能力，根據需求，可以調節{{n,0,”能量“},0,100,1}中的“0”和“100”以及步長“1”。

圖1  一維線性諧振子的波函數交互式圖樣（n=0，1）

通過調節控件，可以直接得出不同情況下的波函數圖樣，可以直觀的讓學生感受到不同能量情況下的波函數。

為了得到幾率密度與波函數圖樣的關系，可以在Manipulate中加入概率的相關命令，代碼為：

其交互式圖形見圖2。通過調節控件，可以分別得到不同波函數圖樣以及概率圖樣。

圖2  一維線性諧振子的波函數交互式圖樣（n=0， 15）

從概率圖中可以看出，當n>2時一維諧振動的粒子的波函數及幾率密度呈現中間小，兩頭大的情形，張迪等已經進行了比較詳細的討論，這里不再闡述。

3  結語

理論物理導論是材料物理專業的學科基礎課，涉及到分析力學、量子力學、熱力學與統計物理，內容多、數學基礎要求高、難度大。為了利用有限的課時，將物理概念講深講透，不能純粹只利用板書教學，需要將所授知識可視化。Mathemtaica等數學軟件，為數學知識內容可視化提供了便利。本文以諧振子的波函數和幾率密度為例，以Mathematica的可控件操作，直觀的展示了波函數、幾率密度與n的變化情況，可以直觀的展示n變化的情況下，波函數及幾率密度的變化，為學生更深刻的理解諧振子的相關物理性質奠定了基礎。

本文來源：《企業科技與發展》：http://www.007hgw.com/w/qk/21223.html