基于一維非穩態熱傳遞模型的高溫作業專用服飾

本文基于傳熱學原理，利用一維非穩態熱傳遞過程模型，對熱防護服的初始條件和邊界條件進行討論，通過偏微分方程得到溫度的分布關系；利用變步長搜索法遍歷II層厚度值，得到最優厚度值；最后遍歷出若干組滿足約束條件的II層、IV層厚度值，通過綜合評價求解出最優的II層、IV層厚度。

1  問題背景

為了更快地設計出可以在高溫環境下使用的專業服飾，我們根據2018年高教杯全國大學生數學建模競賽A題建立模型，分析并解決以下問題：

（1）在環境溫度75oC、II層厚度6mm、IV層厚度5mm、工作時間90分鐘的情況下計算假人皮膚外側溫度。

（2）在環境溫度65oC、IV層厚度5.5mm時，確定II層的最優厚度，以確保工作60分鐘時，假人皮膚外側溫度不超過47oC，且超過44oC的時間不超過5分鐘。

（3）當環境溫度為80oC時，求II層和IV層的最優厚度，以確保工作30分鐘時，假人皮膚外側溫度不超過47oC，且超過44oC的時間不超過5分鐘。

2  問題分析

問題一：這是個關于非穩態傳熱過程的數學模型問題。利用傳熱學中的理論計算出熱量和溫度間的關系，再根據Fourier定律，可得到熱傳導的偏微分方程解答。

問題二：本質為優化問題中的目標規劃問題，利用問題一中的非穩態熱傳遞微分方程組來利用了有限差分法和變步長搜索法來反求參數。

問題三：本質是一個求解優化問題中的多目標規劃問題，可以在滿足約束條件的情況下，遍歷IV層的厚度，將該問題轉化為問題二求解。并引入功能值，用該值的大小來統一量化目標函數，計算最優厚度。

3  模型的建立和求解

3.1  問題一

3.1.1  熱傳導模型

熱量從防熱服外向內傳導的過程為非穩態導熱過程，遵循Fourier定律，可用熱流密度表示，如式（1）：

（1）

其中，表示熱流密度；為熱傳導率；為物體溫度沿x軸方向的變化率。

熱量傳導的過程滿足能量守恒定律，根據傅里葉定律可得到微分方程，如式（2）：

（2）

其中，表示比熱；為單位體積的質量密度；為熱傳導。

3.1.2  邊界條件的計算

在防護服的外表面，利用能量守恒定律，可以得到織物表面的熱傳導公式（3）：

(3)

熱對流的熱流密度可以用牛頓冷卻公式得到：

(4)

其中，為對流換熱系數，根據Rapp的分析結果，；表示防護服外表面的溫度；表示為高溫環境的溫度。

熱輻射的熱流密度為：

(5)

其中，為紡織品表面的熱輻射率，經dunkle測量，；為Stefan-Boltzmann常量，即黑體輻射常數，。

將式（1）、（4）、（5）代入到式（3）中，得到防護服外表面的左邊界函數如下：

由于在右邊界IV層與皮膚之間既有熱傳導又有熱輻射，所以其邊界條件可用公式(1)、(3)、(5)得到：

其中；為假體的熱輻射率，；表示假人皮膚外側的溫度，單位為K； 表示假人內部溫度，。 

假設初始的熱防護服的整體溫度為37oC，即：

最后求解，得到假體熱傳導率數值為0.0851，溫度分布情況如圖1：

圖1  溫度分布情況

3.2  問題二

該目標規劃問題的目標函數為：，其約束條件如下：

利用變步長搜索法，最后計算得到的第二層的最優厚度的為10.8mm。

3.3  問題三

先將IV層邊緣的厚度（即0.6mm和6.4mm）作為定值代入。用第二問的方法求出滿足約束條件的最優的II層厚度。其計算結果如下：

表1  厚度邊界特殊節點表

IV層厚度 0.6mm（左邊界） 6.4mm（右邊界）

II層厚度 ≥22.4mm 18.9mm

取第II層的厚度作為范圍遍歷，步長定為0.1mm，求解IV層的厚度，并選取厚度、重量、防護性能為評價指標選出最優厚度。通過TOPSIS方法對評價結果的數值進行處理，得到的評價方程為：

其中為評價得分；為厚度；為重量；為瞬時導熱率。

最后，得到的最優結果為：II層的厚度的為19.9mm，IV層的厚度為4.6mm。

4  模型的評價與推廣

充分利用相關數據，結合傳熱學原理，建立符合實際的模型。由于時間的限制，沒有更進一步地探討精度的問題，結果可能會有一定的偏差。

將此模型推廣到實際生活中，可以設計出更加輕便的高溫作業專用服裝，提高高溫作業的工作效率和舒適程度。同時還可以推廣到低溫作業環境，或者其他對溫度要求較高的環境中。

本文來源：《企業科技與發展》：http://www.007hgw.com/w/qk/21223.html