橢圓問題“圓”形畢露

設橢圓方程為，令，則得圓方程：，若令，則得圓方程：．

用這個結論解題，不僅思路清晰，和諧美化，而且解題過程簡捷明快有新意，可以收到事半功倍之效．下面略舉二例說明．

例１　將橢圓與軸相交于，與軸相交于，在橢圓上任取一點，連接，延長后與軸相交于點，連接與軸相交于，求證： 

1． 橢圓C：通過仿射變換，即可得到一個圓．

2．在仿射變換中，點分線段的比例是一個不變量。（例如：M是線段AB的中點，則變換之后這一性質保持不變）

3．在仿射變換中，直線的斜率通常是可變量。

例如：垂直的兩條直線的斜率滿足，經通過仿射變換后，，故．考慮的逆變換，可知          

上述的結論，即是課本上運用端點相減法得到的中點弦公式。

4．通過仿射變換將橢圓變換成圓之后，可以借用圓的幾何性質簡化解題過程。

如：例1中，∽△QOB，可得；

例2中，在變換之后的圓的圖形中，M點為定點，直線l的斜率確定為定直線，故由（定長）即可運用垂徑定理確定確定圓的半徑，進而得到橢圓方程。

5.補充幾道題目，以作參考。

實例1：（2011年重慶高考數學理科第20題）

如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為．

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；

(Ⅱ) 設動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求    的坐標；若不存在，說明理由．網KS5U.COM]

解：（I）由

解得，故橢圓的標準方程為 

因為點M，N在橢圓上，所以，

設分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知

因此所以

所以P點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為F1，F2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標為

下面要討論的是這一數學問題產生的根源．

在圓中，OM與ON是兩條互相垂直的半徑，．則此時直線OM、ON的斜率之積等于-1，P點的軌跡是圓心位于點O、半徑為的圓．如下左圖所示．

現對上述圖形考慮線性變換：．如右圖所示，向量的線性關系保持不變，直線與的斜率之積變為，圓變為橢圓，圓變為橢圓． 

實例2：（2012年浙江高考數學理科第21題）

AB被OP平分，在仿射變換前后保持不變。由于OP直線斜率給定，故直線AB的斜率確定。