從數學方法論探討高等代數與中學數學的多種聯系

摘要：高等代數與中學數學之間聯系較為密切：在知識體系上，高等代數是中學數學的進一步延伸和擴展；在思想方法上，高等代數是中學數學的沿襲與拓展；在觀念理論上，高等代數是中學數學的深化與提高。總之，從數學方法上探討高等代數與中學數學的多種聯系，可具體歸結為思想方法和觀念理論上的一些聯系，高等代數中的一些思想方法與觀念理論對中學數學問題的求解有較大的輔助作用。本文從數學方法論的角度出發，對高等代數在知識結構、思維方式和觀念理論上與中學數學之間的相關部分加以探討，揭示中學數學教學改革的未來方向。

關鍵詞：數學方法論；高等代數；中學數學；數學知識；思想方法；觀念理論

   目前，中學數學教學方法創新是亟待改善的一大問題要點，對中學生數學教學方法改革創新不僅是新時代前進的基本要求，也是我國適應數學發展、走向世界的一大必然教育趨勢。弄清高等代數與中學數學之間的多種聯系，提升中學數學教學的效果是教育改革的重點。在中學數學問題求解中引入高等代數知識體系、思想方法和觀念理論，可以更好地促進初等數學與高等代數的交流與融合，促進中學生思維思考能力的提升和后續數學教學的銜接。可以說，高等代數與中學數學是相輔相成的關系，初等數學的發展激發了高等代數的出現與應用，而高等代數的進一步發展也推動了初等數學的發展歷程。為此，從數學方法論角度出發，探究高等代數與中學數學之間的多種聯系具有重要的現實應用價值。

1. 知識方面的聯系

從知識方面來說，高等代數與中學數學緊密相連。高等代數是對變量數學與常量數學知識綜合化的多級抽象，而中學數學則是簡單的常量數學與變量數學知識基礎，這就決定了高等代數與中學數學的同胞相生卻又有所差異的聯系。將初等數學中的基本知識抽象化、復雜化就會衍生出高等代數知識，而將高等代數知識運用于中學數學問題中，則可以解釋很多中學數學知識難以解釋的問題，使得復雜的知識簡單化，比如高等代數中行列式的消元化簡就是對中學數學n次多元方程的簡化延伸。將高等代數與中學數學教學相結合可以更好的促進學生思維邏輯的發散與鍛煉，加深學生對基本理論知識的理解與運用，促進學生解題思維方法的擴展與速度質量的提升，進一步推動數學素質教育的發展。

2. 思想方法方面的聯系

    高等代數與中學數字除了在知識方面有聯系，在思想方法上更是一脈相承，主要分為五大思想和五大方法：

（1）抽象化思想

    在最初的小學數學中，首先接觸的是從實物量化而來的數字，從此產生了算術運算的紀元。到了中學數學中，使用字母代表數字，進入了從一般情況出發探討數字、公式、方程的階段。后來在大學的高等代數中，字母又可以代表多項式和矩陣，并以此探索實際的代數系統。此外，還可以通過讓字母代表抽象的對象，探索抽象的代數系統。由此可以發現，當概念抽象化水平越高，探索的范圍也越廣闊。

（2）化歸思想

    利用化歸的思想，中學數學將無理數的方程轉換成有理數的方程，將分數方程轉換成整數方程，將三元一次的方程組轉換為二元以至一元一次方程，根據矩形推出平行四邊形的相關公式。而根據化歸的理論，高等代數把高階的行列式轉換成低階的；把求線性方程組的解的個數轉換成求增廣矩陣的秩；把向量類的問題化歸成坐標的問題，把二次型的探討化歸成實對稱矩陣的問題。

（3）分類思想

    根據概念來劃分，中學數學包含對數劃分、對代數式劃分等等；而根據研究對象高等代數課把次數比零大的多項式劃分成可約分以及不可約分，把二次型劃分成正定式、負定式、不定式。此外，還可以根據元素之間的等價情況劃分，根據向量空間的同構關系劃分等等。

（4）結構思想

    從結構思想這方面來比較分析的話，兩者都是利用現代數學的看法及措辭編纂的教科書，因此表面看來就有很多類似的地方。由負數到負數多項式以及負數元素，從倒數到逆矩陣以及逆元素，由算術運算到集合、多項式、矩陣的運算定律，從數字之間的關系到集合之間的關系、多項式之間的關系。    

（5）類比推理思想

    根據類比思想，中學的數學從分數的性質推出分式的性質；從兩條直線之間的關系推出兩個平面的關系；從直角三角形的勾股定理推出空間的勾股定理。而高等代數從整數整除思想推出多項式的整除理論；向量的一般要素之間的關系推出多維歐式空間內向量的一般要素關系。

3. 觀念方面的聯系

    高等代數是中學數學初步接觸的概念的深入研究。通過觀察中學數學的探索對象可以發現，數學探索的是真實世界的數量聯系以及空間的模式。但是從中學數學的代數式、方程、點線面到高等代數的集合、多項式、矩陣，可以發現數學已突破傳統的觀念，向量空間、歐氏空間已進入研究的領域。這種觀念上的進步應該是中學數學教育改革的重點考慮對象。

    說到數學，首先進入大腦的就是抽象、嚴密和龐大的信息量。但是僅僅從現在的中學數學教育中很難感受到這樣的感覺。第一抽象性：以字母代表數字的方式在中學數學中使得孩子們對抽象有了一些感受，然后如何利用這種抽象思維卻不是很了解，在學習了高等代數之后，接觸的案例很快就增加了。舉個例子來說，在進行諸如幾何向量這樣的研究對象的數學運算時，抽象出向量空間的意識，并把幾何向量賦予實數領域中的向量空間即可有歐氏空間的意識。因此，數學探索的對象在抽象程度的增強過程中持續增加，使得所得的結果更為根本。第二嚴密性，考慮到中學生的接受能力，書本中嚴密的定義很少，很多問題往往使用圖形來形象話問題，因此嚴密性不夠。但是高等代數不管如何都是從嚴密的定義開始，一步步根據邏輯得到結論。第三信息量龐大，數學是生活應用最為廣泛的一門學科，每一個人每一個行業或多或少都會使用到數學，尤其是工程類，研究類型的專業，在數學方面要求更高。中學數學雖然比較簡單，但是也可以應對部分容易的問題，在教育方面不容忽視；而高等代數難度上大大得到了提升，它解決問題的功能也大大提升了，可以用來很多復雜的問題，像金融計算、投入規劃等等。總而言之，研究的越深，應用的就越多。

4. 結束語

    中學數學和高等代數相互滲透，高等代數與中學數學聯系緊密，將高等代數的方法應用與中學數學教學中，能夠解決了中學數學學習中只知理論不知來源的弊病，同時可以實現中學數學學習向高等代數學習的良好過渡。而中學數學中像幾何證明思想、隨機思想、極限思想等這些重要而又基本的數學思想對于以后學習高等代數來說，也是最基本而又非常重要的保障。將高等代數知識體系、思想方法、理論概念與中學數學教學聯系起來是新世紀創新型人才培養的基本戰略，也是素質教育發展的必然趨勢，具有非常廣闊的應用空間。

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