分數乘分數教學的實踐與思考-數學論文發表

分數乘分數一直以來是五年級數學教學的難點之一。計算方法很容易掌握，但是背住了，會算了，考試能得高分就實現教學的價值了嗎？帶著這些問題，我和兩位老師進行了實踐：
A教師的課堂回放：
師：我們已經學習了分數乘整數的計算方法，這節課我們一起來研究分數乘分數。（板書：分數乘法三）
生：老師，我已經會算了。
師：（微笑）說說，分數乘分數怎么算？
生：分數乘分數，用分子和分子相乘，分母和分母相乘。
師：大家同意他的說法嗎？（同意）看來分數乘分數的方法大家已經知道了。那為什么在計算分數乘分數的時候，要用分子和分子相乘、分母和分母相乘，你們知道嗎？
生：（搖頭，面露困惑）
師：這節課我們就一起來研究這個問題。
師：我們一起來看（演示并講解），如果要計算 × =？，我們可以先將一張長方形的紙，用斜線涂出它的 （折、涂一張紙的 ），再把這張紙橫著對折2次，找到 的 （用紅色涂出斜線部分的 ），紅色部分占整張紙的 。 正是 的 ，也就是 × 的結果。
 → →  →  
師：大家明白了嗎？（生似懂非懂）請同學們用這種辦法試著來畫一畫、涂一涂，看 × ＝？
在接下來的學習中，學生雖能算出 × 的結果，但是對怎么畫、涂表示計算的道理卻出現極大的困難。在涂的過程中，主要有以下不同的涂法：

面對這些五花八門的涂法，老師顯然也感到意外萬分。于是再次演示正確的畫、涂方法，引導學生觀察兩個算式，得出分數乘分數的計算方法：分母乘分母，分子乘分子。之后，草草收兵，進行接下來的計算練習鞏固環節。從課堂小測來看，大部分學生掌握了分數乘分數的計算方法，但是對算理的理解還是糊涂一片。
經課后訪談得知，有些學生先算出來 × 的得數，再表示出這張紙的2/15，如圖二；大部分學生雖能正確涂出一張紙的2/5，但對接下來涂這個數的1/3的時候，找不到是哪部分的1/3。如圖一和其余四種涂法。
教學注釋：
教材的本意是要通過折紙、涂色幫助學生理解算理，再掌握算法，而在這節課上，學生在已知算法的情況下，作為中介的折紙與畫圖卻成了教學的難點。即便如此，我們也不能忽視學生對算理的理解。因為，學生大多對算法是知其然而不知其所以然。如果不理解算理，即使會算分數乘分數的題目，卻對未來進一步學習分數乘除法設下了障礙。因此，教材安排的折紙與涂色活動是很有深意的。這部分絕不能成為課堂的點綴，也不能僅憑教師的演示和講解就匆忙結束。必須讓學生親自經歷這一活動，讓他們找到2/5的1/3，發現2/5的1/3就是整張紙的2/15，從而得到算式與結果的關聯。基于這些思考，第二位老師進行了教學實踐。

B教師的課堂回放：
片段一：
師：（課前每人發一張紙）用折紙的方式，折出這張紙的1/2。涂色表示出這張紙的1/2。
（生自主完成）
師：誰來說說你是怎么做的？
生：我把這張紙對折，就是把這張紙平均分成兩份，那其中的一份我涂了色就表示其中的1/2。
師：現在這張紙被涂色的部分，也就是？
生：這張紙的1/2。
師：如果用涂色的方式來表示這張紙的1/2的1/4，你們還會嗎？
（生折、涂，教師巡視，找有代表性的方法匯報）
生：我把這張紙先撕了，拿出了這份，然后對折，對折，就涂其中的一份就可以了。
教學注釋：學生通過撕紙，把一張紙的1/2變成新的單位1。這充分反應了學生的思維過程，明白1/2張紙是單位1。學生通過自己動手操作明白了算式的含義。
師：表示的是誰的1/4？
生：是這張紙的1/4（學生先撕了一張紙的1/2做的，所以學生指的這張紙是1/2張紙的1/4）
師：想一想，你們指的這張紙和我們開始用的紙之間的關系？
生：是開始紙的1/2。
師：那么這1/4是？
生：開始那張紙的1/2的1/4。
師：聽明白了嗎？現在想想我們是怎么完成這張紙的1/2的1/4的？
生：首先把一張紙平均分成兩份，取了其中的一份，再把其中的一份平均分成4份，取其中的一份。
師：就是？
生：就是一張紙的1/8。
師：是一張紙的1/8，對不對呢？快把你們撕的紙合起來看看，是不是這張紙的1/8？
（生驗證）
教學注釋：讓學生撕下1/2張紙，再去找它的1/4時，學生描述的“這張紙”并非原來完整的一張紙。因此，教師引導學生還原這張紙，再來理解手中紙的1/4是原來整張紙的1/2的1/4，也就是整張紙的1/8。讓孩子結合直觀圖示，逐漸形成抽象的理解，不僅知其然，還要知其所以然。

片段二：
師：同學們學得真不錯。看看這道題，（2/5×3/7）你會做嗎？做完后能結合折紙，說說算式的含義嗎？
（生討論之后匯報）
師：你們會說含義了嗎？
生：就是把一張紙平均分成5份，取其中的兩份，再把這兩份平均分成7份，取其中的3份。
師：其實就是求什么？
生：一張紙的2/5的3/7是多少？
師：你們計算出來了嗎？
生：6/35。
師：這6/35是把誰看作單位“1”？
生：把這張紙的2/5看作單位“1”。
生：是把這張紙看作單位“1”。
師：我們來看一看，如果是把這張紙的2/5看作單位“1”，那應是平均分成7份，取3份，所以2/15是把整張紙看作單位“1”。所以2/5×3/7的含義就是？
生：求這張紙的2/5的3/7，也就是這張紙的6/35。
師：我們再來體會一下，先求一張紙的2/5，再求這張紙的2/5的3/7是多少，就是求原來整個這張紙的6/35。
（生體會）
教學注釋：在學生通過折、涂，已經很好地理解了一張紙的1/2的1/4，也就是整張紙的1/8之后，這部分教學沒有進行折紙，也沒有圖例，而是引導學生通過想象，就算式來說含義。在這個過程中，教師針對算式的意義進行了追問和點撥：6/35是把誰看作單位“1”？那么2/5×3/7的含義是什么？借助折紙的情境，讓學生想象和體會：先求一張紙的2/5，再求這張紙的2/5的3/7是多少，就是求原來整個這張紙的6/35。讓學生在頭腦中想象兩次涂色的動態過程，將思維引向深入，從而借助幾何直觀達到對算理的抽象理解。
學習與思考：
分數乘法（三）是北師大版小學數學五年級下冊第一單元分數乘法的內容。本課時的教學目標：1、在操作活動中，借助圖形語言，理解分數乘分數的意義；2、探索并掌握分數乘分數的計算方法，并能夠正確計算；3、能運用分數乘分數的知識解決簡單的實際問題。從這三個教學目標可以看出，每個教學目標層層深入，逐步遞進。第一個教學目標是前兩個的基礎，只有理解了分數乘分數的意義，才可以總結計算方法；掌握了計算方法才能正確計算；擁有計算能力了，才能解決實際問題。因此，本課教學重點是結合具體情境，讓學生探索并理解分數乘分數的意義（即算理），在理解算理的基礎上體會計算方法的合理性。
據Ｊ．Martin研究的結論，“整體１”可以分為以下六種情況①（以１/5為例）：
（１）１個物體，例如一個“圓形”，平均分成５份，取其中的１份；
（２）５個物體，例如“５塊糖”，其中的“１塊”占“５塊”的１/5；
（３）５個以上但是５的倍數，例如“１５塊糖”，平均分為５份，取其中的１份；
（４）比１個多但比５個少，例如，“２塊巧克力”作為“整體”；
（５）比５個多但不能被５整除，例如，“７根香蕉”作為“整體”；
（６）一個單獨物體的一部分的1/5，例如，一米的3/4的1/5。
這六種情況不可能讓學生同時學習，但讓學生逐步地經歷這些“情境”對學習分數是非常重要的，尤其是（１）（２）（３）這三種情境。（４）（５）兩種情境對于學生進一步理解“分數”與“除法”的關系非常必要，而情境（６）則是學生很好地理解分數乘分數的“模型”。
由此，我們推想，學生學習分數乘法出現困難，歸根結底還是對第（６）種情境經歷不夠。兩位老師在教學中都關注到了這一點，但是在實施中，側重有所不同。A老師利用了系統演示和講解的辦法。這雖能節省教學時間，卻從一定程度上代替了學生的操作與思考。何況，學生對分數乘分數這一“模型”的理解也不是一蹴而就的，一次演示遠遠不夠，還要有梯度地呈現類似的情境讓學生反復體會。
為了幫助學生理解，B老師先和學生一起經歷折、涂一張紙的1/2，再涂這張紙的1/2的1/4。在學生很好地理解了整張紙的1/8之后，再讓學生借助折紙的情境來想像2/5×3/7表示什么？并在學生容易困惑的地方精心設問和點撥，進一步引導學生明確一張紙的2/5的3/7，也就是這張紙的6/35，最后再讓學生在頭腦中回顧完整的思考過程。
顯然，讓學生由直觀操作達至初步理解，再由折紙想象兩次平均分的動態過程，這樣分層次處理是建立在學生認知基礎上的。能夠有效地溝通算式與結果的關系，促進對算式意義的理解。讓學生在理解算理的基礎上，再去嘗試探索算法，不僅能達到水到渠成之功，而且也會印象深刻。
通過本次研討與實踐，我們深刻認識到：在教學中根據學生的認知起點，讓學生充分經歷知識的建構過程非常重要。