例談探索性問題的求解策略-數學教學論文

上世紀70年代，國際上一些數學教育家認識到，傳統的封閉的數學問題不能適應快速發展的經濟社會對公民數學素養的要求，于是有利于激發學生好奇心、有利于學生積極參與、有利于培養學生創新能力的探索性問題應用而生．

探索性問題是相對于傳統的條件與結論都已給出的封閉性問題而言的，其主要特征是：發散性、探究性、發展性和創新性．探究性問題的條件不完備、結論不確定、過程發散等特性，既決定了它的條件或結論具有較大的開放性，決定了解決問題的思考方向有很大的自由度．探究性問題給考生提供了自主探索與創新的空間，具有訓練和培養學生分析問題、解決問題的能力和促進創新思維形成的良好功能．近年來，有特色、有價值的探索性數學問題已成為我國具有時代特色的數學教育改革的一個熱點和亮點，也越來越受高考命題者得青睞，本文就目前高中數學新課標范圍內所涉及的條件探索、結論探索、存在探索、規律探索等類型探索性問題求解策略例談如下：

二．條件探索型求解策略

 這類問題的外在形式是給出結論，條件未知需探究，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷．

求解策略：執果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件．在“執果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作充分條件，應引起注意．

例1、假設每一架飛機引擎在飛行中故障率為1–p，且各引擎是否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，則對于多大的p而言，4引擎飛機比2引擎飛機更為安全？

解析  飛機成功飛行的概率分別為  4引擎飛機為 

    2引擎飛機為  

要使4引擎飛機比2引擎飛機安全，則有 

6P²（1–P）²+4P²（1–P）+P⁴≥2P(1–P)+P²,解得P≥  

即當引擎不出故障的概率不小于 時，4引擎飛機比2引擎飛機安全 

例2、如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為 ，A、B為直線a上兩定點，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段.

（1）建立適當的平面直角坐標系，求△AMN的外心C的軌跡E；

（2）接上問，當△AMN的外心C在E上什么位置時，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離）.

解析：本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質、數形結合思想及分析、探索問題、綜合解題的能力. 技巧與方法：本題主要運用拋物線的性質，尋求點C所在位置，然后加以論證和計算，得出正確結論，是條件探索型題目.

（1）以直線b為x軸，以過A點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標系.

設△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，

由題意，有｜CA｜=｜CM｜

∴ ,化簡，得

x²=2py

它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線．

（2）由（1）得，直線C恰為軌跡E的準線.

由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0, ）是拋物線的焦點.

∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點

直線BF的方程為 聯立方程組

得 ．即C點坐標為( )，

此時d+｜BC｜的最小值為｜BF｜= ．

二、探索結論型求解策略

這類問題的基本特征是：有條件而無結論或結論的正確與否需要確定．

求解策略：先探索結論而后去論證結論。在探索過程中常可先從特殊情形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結論，再就一般情形去認證結論．

例3、設 是公比為 的等比數列， ，令 ，若數列 有連續四項在集合 中，則 =        . 學科網

解析：考查等價轉化能力和分析問題的能力。等比數列的通項．

有連續四項在集合 ，四項 成等比數列，公比為 ， = -9

例4、已知數列 滿足： （m為正整數）， 若 ，則m所有可能的取值為__________．

解析：（1）若 為偶數，則 為偶, 故

①當 仍為偶數時，   故

②當 為奇數時， ，故 得m=4。

（2）若 為奇數，則 為偶數，故 必為偶數

，所以 =1可得m=5

三．存在判斷型求解策略

這類問題是在正確的題設條件下判斷某一數學對象是否存在或某一結論是否成立．

求解策略：先假設需要探究的對象存在，以題設條件和這種假設為出發點進行數式運算或邏輯推理，由此推出矛盾，則否定存在；若果不出現矛盾，則肯定存在，給出證明．有時也需要區別不同的情形加以分類討論．

例5、已知二次函數 ，若 的定義域為 時，值域也是 ，符合上述條件的函數 是否存在？若存在，求出 的表達式；若不存在，請說明理由．

解析：本題是考察二次函數的圖像，單調性及值域，以及分類討論的能力，尤其是涉及到得“動軸定區間”問題要求能熟練掌握．

假設符合條件 存在，∵ 函數圖像的對稱軸方程是 且 ，∴

①當 ，即 時，函數在 處取最小值 ，

則 ，即 ，解得： 或 （舍去）

②當 ，即 時，

則 ，解得： （舍去）或 （舍去）

②當 ，即 時，函數在 上單調遞增，

則 解得：

綜上所述，符合條件的函數有兩個，是 或 ．

四．探索規律型求解策略

這類問題的基本特征是給出若干具體的數、式、函數等，概括出一般性規律，對材料的加工提煉和運用，對規律歸納和發現能反映出一個人的應用數學、發展數學和進行數學創新的意識和能力，這類題目意在檢測解題者駕馭數學創新意識和才能．

求解策略：要求通過觀察、歸納、類比、分析等思維方法，從特殊的情況出發，經過周密的思考，全面的分析，去推得一般的結論，然后再給出嚴格的證明．

例6、我們知道，在 中，若三邊長 ，滿足 ，則 是直角三角形．現在請你研究： ，則三角形為何種三角形？請給出你的證明．

解析：先舉特例，如 等，再找一般規律，而后加以證明．

先取一些特殊值試探一下，不妨令 ，則 ，畫出 ， ， 為邊得三角形，易發現 是銳角三角形．上述用賦值法試驗的結論是否具有一般性，回答是肯定的，請看下面的證明過程：

∵   ∴  且 ，要證明 是銳角三角形，只需要說明 為銳角，即 ，亦即 ．

，則 在 為上減函數，當 時， ，即 ，從而得 ．

∴   ，故 為銳角，而 為 中最大的角，

∴  一定是銳角三角形．者說明我們的猜想的結論是正確的．