拓展創新思維、培養創新能力-數學論文發表

2010年5月25日至26日在北京舉行的全國人才工作會議上胡錦濤發表了重要講話：全黨全國要統一思想，真抓實干，全面落實加快建設人才強國各項戰略任務，努力培養造就數以億計的高素質勞動者、數以千萬計的專門人才和一大批拔尖創新人才，進一步開創我國人才事業的新局面，為全面建立小康社會、加快推進社會主義現代化、實現中華民族偉大復興提供有力人才保障。人民日報發表社論《加快建設人才強國》強調：人才，是強國的根本，人才資源是第一資源。作為農村初級中學的一名普通數學教師，聽后看后，倍受鼓舞，深知黨和政府對 人才特別是創新人才的高度重視，我也深感自身教書育人的擔子重了，責任大了，我應該怎樣拓展學生的創新思維，培養學生的創新能力呢？又應該怎樣體現在數學課堂教學中呢？我帶著這個問題，在課堂上作了如下嘗試，整理出來，與大家共勉！

一、數語道破創新基本原理

簡單地說：創新思維就是產生新思想、新概念的思維。創新思維是創新能力的核心因素和創新意識的主要內容，是創新活動的靈魂和發動機。創新能力是指：一個人（或群體）在前人發現或發明的基礎上，通過自身的努力，創造性地提出新的發現、新的發明和新的改進改革方案的能力。表現在數學方面的創新能力是指一個學生在創新活動中所具有的提出問題、分析問題的解決問題這三種能力 的總和。創新能力并非少數人才具有的一種能力，而是人人都具有的一種能力，可以通過啟發、教育、培訓得到提升的一種潛在的能力。否則所有的創新理論都將失去存在的必要和意義。所以創新人人可為、時時可為、處處可為。就拿蘇科版數學八年級下冊第十一章復習題第16題來說吧，它就是一道培養學生創新能力的絕妙好題。

二、引入好題拓展創新思維

設疑問難是通向創新的第一階梯，是培養創新能力的重要方法。陶行知指出：“學貴有疑，大疑則大進，小疑則小進，不疑則不進”，并明確地說：“這個疑字我當重用它”。我是這樣設疑的：同學們！今天我們比比看，誰的創新能力最大？比如：當兩條平行線被第三條直線所截時，有哪些角相等或互補？一下子把學生的數學興趣提了起來。接著，用多媒體投出如下的題目：

已知：如圖1，AB∥EF∥CD

你能證明∠B+∠D=∠BED嗎？

同學們異口同聲地說：“能證明。”說完，就迅速寫出了“ 合情推理”的過程。其中一名學生的過程如下：

證明：  AB∥EF （已知）

∴∠B=∠BEF（兩直線平行，內錯角相等）      

EF∥CD  （已知）  

∴∠D=∠DEF（兩直線平行，內錯角相等）

∠BED=∠BEF+∠DEF

∴∠B +∠D=∠BED（等量代換）

這種“合情推理”有理有據，同學們要牢牢掌握這一方法。

再來看這樣的一道吧！你會做嗎？（出示題目）

已知：如圖2，AB∥CD，你能證明∠B+∠D=∠BED嗎？

你有幾種證明方法？同學們一看，這不是與例題差不多嗎？但少一個條件，怎么辦？有的同學說：“少了條件我們就添上去” ，贊同的同學越來越多。由于有了上題的解法基礎，這題解起來也就順手多了。

證明（一）：過點E作EF∥AB，  AB∥CD ∴EF∥CD                               

 （以下的內容與上題相同）如圖3。

有的同學提出：“EF能畫在∠BED的內部，能不能畫在∠BED的外部？”這一問一下子點燃了同學們的創新火花，當即同學們都動手畫了起來。同學們邊畫邊思考，突然有個同學大聲說：“孫老師，這種證法還要用到周角的知識”，           我聽后就鼓勵他說：“你把你的創新成果展示一下” ！這位

同學自信地講了起來：如圖4。

證明（二）：過點E作EF∥AB，

 AB∥CD（已知）

∴EF∥CD （平行于同一條直線的兩條直線平行）      

∴∠1+∠B=180⁰（兩直線平行，同旁內角互補）     

∴∠2+∠D=180⁰（兩直線平行，同旁內角互補）                     

∠1+∠2+∠BED=360⁰（周角定義）

∴∠B+∠D=∠BED（等式性質）

這位同學展示完畢，贏得了全班同學的掌聲。我這時又啟發說：“還有其它方法嗎？”于是同學們又進入到緊張的創新思維階段。不一會就涌現出如下幾種不同

的解法：（為了敘述簡便，各步依據省略，只畫出圖形，再加上簡要的說明即可。）

如圖5，延長BE交CD于F，由AB∥CD可得∠1=∠B；由∠2是△EDF的一個外角可得，∠2=∠1+∠D；故∠B+∠D=∠BED。

如圖6，連結BD，由AB∥CD可得∠1+∠3+∠2+∠4=180⁰；由△BED的內角和可得，∠1+∠2+∠E=180⁰可得：∠E=∠3+∠4；故∠B+∠D=∠BED。

如圖7，過點E作直線FG交AB于F、CD于G，由AB∥CD可得∠3+∠4=180⁰；由△BEF與△DEG的內角和可得，∠1+∠3+∠B=180⁰，∠2+∠4+∠D=180⁰，從而得出∠1+∠2+∠B+∠D=180⁰；由平角∠FEG可得∠1+∠2+∠5=180⁰；所以∠5=∠B+∠D，故∠B+∠D=∠BED。

如圖8，過點B作直線BG∥ED交CD的延長線于點G，延長AB到F，由AB∥CD可得∠1=∠2=∠3，∠5+∠6=180⁰；由平角∠ABF可得∠3+∠4+∠5=180⁰；所以∠6=∠4+∠1，故∠B+∠D=∠BED。

如圖9，過點E作直線EG∥AB，延長BE到H，延長DE到F，由AB∥CD可得∠1=∠B，∠2=∠D；由∠FEH與∠BED是對頂角可得∠FEH=∠BED即：∠1+∠2=∠BED；故∠B+∠D=∠BED。

同學們的精彩展示，顯示了學生對創新潛能的挖掘水平，既拓展了創新思維，又培養了創新能力。學困生王小林說：“這堂課，我真的有收獲了！”另一位學困生劉玲說：“孫老師，我的圖形畫的有點偏差，我探索的結果也與例題有點類似，請你指點指點。”于是，我接過她的本子一看，情不自禁的說：“啊！太漂亮了！原來你的創新能力這么強大。”同學們聽后，都爭著要看呢！

三、繼續研究培養創新能力

原來她在作業本上畫著這樣的圖（如圖10），這是典型的發散思維，同時也是創新思維的主要表現形式。學困生的潛能是可以開發的，為了讓劉玲更進一步，我就把這道題寫成：已知：如圖10，AB∥CD，∠B+∠D=∠BED還成立嗎？

你有幾種證明方法？

劉玲的創新解法展示：

如圖11，由AB∥CD可知，∠1=∠2；由∠4是△BED的一個外角可知，∠4=∠3+∠E；所以∠1+∠4=∠2+∠3+∠E，即∠ABE=∠CDE+∠E（如果去掉輔助線，則是∠B-∠D=∠E），結論：∠B+∠D=∠BED雖然不成立，但可以確定∠B-∠D=∠E。我當眾表揚了劉玲的進步，同學們也投去敬佩的目光。我說：“同學們！再來對劉玲的創新題目進行深入地研究，看看有沒有新發現？”，話音一落，同學們就開始了新一輪的探究活動。過了一段時間，同學們的新證法躍然紙上，個個都想展示。歸納一下，有以下幾種不同的證明方法：

如圖12，過點B作直線HG∥ED交CD于點H，則有∠3=∠4，∠2=∠D；由AB∥CD可得∠1=∠2，所以∠1+∠3=∠D+∠4；即∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=

∠E。

如圖13，延長AB交DE于F，由AB∥CD可得∠1=∠D；由∠2是△BEF的一個外角可得，∠2=∠1+∠E；所以∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=∠E。

如圖14，過點E作直線EF∥CD，則有∠1+∠2+∠D=180⁰；由AB∥CD可得AB∥EF，∠1+∠B=180⁰；所以∠2+∠D=∠B，即∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=∠E。

如圖15，延長EB交CD于F，由AB∥CD可得∠1=∠2；由∠1是△DEF的一個外角可得，∠1=∠D+∠E，即∠2=∠D+∠E；所以∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=∠E。

如圖16，過點E作直線EF∥AB，則有∠1+∠2=∠B；由AB∥CD可得CD∥EF，∠2=∠D；所以∠1+∠D=∠B，即∠B=∠D+∠BED，故∠B-∠D=∠E。

如圖17，過點E作直線MN∥AB，則有∠1+∠B=180⁰；由AB∥CD可得CD∥MN，∠3=∠D；由∠MEN是平角可得∠1+∠2+∠3=180⁰，所以∠2+∠3=∠B，即∠B=

∠D+∠BED，故∠B-∠D=∠E

如圖18，過點E作直線PF∥AB，過點D作直線DF∥BE交直線PF于點F，由AB∥CD可得CD∥PF，則有∠2+∠1+∠3=180⁰，∠1=∠5，∠3=∠4，∠4+∠B

=180⁰，所以∠2+∠5=∠B，即∠B=∠EDC+∠BED，故∠B-∠D=∠E。

如圖19，過點D作直線DF∥BE交AB的延長線于點F，由AB∥CD可得，

∠2+∠1+∠4=180⁰，∠1=∠E，∠3=∠2，∠5+∠3=180⁰，所以∠5=∠4+∠E，即∠ABE=∠EDC+∠E，故∠B-∠D=∠E。

因此，一個有趣的問題從一題多解轉化為一題多變。

一題多解，培養學生求異創新的發散思維，實現和提高思維的流暢性。通過一題多解的訓練，學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路。使不同的知識得以綜合運用，并能從多種解法的對比中優選最佳解法，總結解題規律，使分析問題、解決問題的能力得以提高，使思維的發散性和創造性得到增強。一題多變，培養學生的轉向機智及思維的應變性，實現提高發散思維的變通性。把習題通過變換條件，變換結論，變換命題等，使之變為更有價值，有新意的新問題，從而應用更多的知識來解決問題，獲得“一題多練”“一題多得”的效果。

突然間，有一位不愛多說話的朱小江大聲說：“孫老師，我又想出一種與眾不同的創新解法，你與同學們想知道嗎？”，大家異口同聲地說：“想知道！”

四、妙題多變取得更高效益

朱小江走上講臺，邊畫圖邊講解。如圖20，噢！他原來講得是第一組問題，簡述如下：

如圖20，在線段DE上任取一點S，過點S作直線RF∥BE交AB的延長線于點F，交CD于點R。則∠3=∠E；由AB∥CD可知，∠2=∠F=∠1；由∠3是

△SRD的一個外角可得，∠3=∠1+∠D；所以∠E=∠2+∠D，故∠B+∠D=∠BED

這個解答確實別具一格，其它解法都是從點引出輔助線，而朱小江的方法是從線段上任意取點引出輔助線，真正做到解題創新，并收到了好的效益。其實，只要能拓展創新思維，就一定能培養同學們的創新能力，一定還能創造出新的解題方法。為了讓同學們盡興，不妨來探究一下下面的兩道題目：

1、已知：如圖21，AB∥CD，∠B-∠D=∠E還成立嗎？

你有幾種證明方法？ 

2、已知：如圖22，點B、E分別的AC、DF上，    AF分別交BD、CE于點M、N，∠1=∠2，

∠A=∠F，

求證：∠C=∠D。

你有幾種證明方法？

由此可見，在數學課堂教學中要鼓勵創新，愛護創新，使一切創新想法得到尊重，一切創新舉措得到支持，一切創新成果得到肯定。要關心學困生的創新過程，千方百計地幫助學困生排憂解難，要通過大力表彰和廣泛宣傳優秀學生的創新事跡，營造尊重科學、鼓勵創新、團隊合作的課堂氛圍，在全班形成人人創新的良好風尚，為培養造就數以億計的高素質勞動者、數以千萬計的專門人才和一大批拔尖創新人才而奠定基礎。